Обучение Стэнтон начал в Нью-Йоркском университете Тиш. Свою актерскую карьеру Стэнтон начал с одноименной пьесы "Мера за меру" Джозефа Паппа в театре в Delacorte в 1985 году. Дэбют актера в кино прошел в триллере "Дом на Кэрролл-стрит" в 1987 году. Затем Роберт снялся в популярных сериалах: "Закон и порядок" (1990 - 2010), "Третья смена" (1999 - 2005), "Правильная жена" (2009 -…) и других.